Минимаксные критерии (крайнего пессимизма)
Для минимаксного критерия функцию игры обозначим через S(a,r,q). Она должна быть невозрастающей по выигрышу а и неубывающей по риску r и по вероятности q состояний природы:
S(a,r,q) Ø по а; Ú по r; Ú по q (5)
Тогда Sij = S(aij, rij, qj ) - показатели игры. Показатели стратегий определяются следующим образом:
(6)
Стратегия
считается оптимальной, если
(7)
В силу (7) показатели Si являются показателями неоптимальности стратегий Аi.
То, что функция игры S(a, r, q) должна обладать свойствами (5) мотивируется аналогично мотивировке в п. 3 с учетом (6) и (7).
Приведем некоторые минимаксные критерии с конкретными функциями игры S(a,r,q), удовлетворяющими условиям (5):
4.1. S(a,r,q) = r;
.2. S(a,r,q) = qr;
.3. S(a,r,q) = r-a;
.4. S(a,r,q) = qr-(1-q)a.
Критерий 4.1, в котором показатели игры - риски, не учитывает ни выигрышей, ни вероятностей состояний природы. Это есть критерий Сэвиджа ([1], с. 504; [3], с. 92, [5], с. 57).
Сравнивая максиминные и минимаксные критерии, можно высказать следующее.
Утверждение 1. Максиминные критерии 3.3 и 3.4 эквивалентны соответственно минимаксным критериям 4.3 и 4.4:
3.3 Û 4.3, 3.4 Û 4.4.
Первая их этих эквиваленций означает, что стратегия Ai является оптимальной по критерию 3.3 тогда и только тогда, когда она оптимальна по критерию 4.3.
Аналогичное объяснение относится и ко второй эквиваленции.
Доказательство. Докажем сначала эквиваленцию 3.3 Û 4.3. Так как функции игры W и S соответственно критериев 3.3 и 4.3 удовлетворяют равенству S = -W, то и показатели игры удовлетворяют аналогичному равенству Sij = -Wij. Тогда
откуда
Таким образом, Si будет минимальным для номера i, для которого Wi будет максимальным, и эквиваленция 3.3 Û 4.3 доказана.
Совершенно аналогично доказывается и эквиваленция 3.4 Û 4.4. n